Техника квадрат декарта: Квадрат Декарта, как способ верно принимать решения

Квадрат Декарта: техника для принятия решений

Метод поможет принять решение, делая проблему менее пугающей и более понятной.

Вопросы Декарта разбивают сложное решение на более простые вопросы.

Кратко о методе Декарта

Метод «Квадрат Декарта», называется в честь французского философа XVII века Рене Декарта (автора выражения «Я думаю, значит, я есть»).

Столкнувшись с выбором, стоит ли выполнять действие, возьмите листик, затем разделите его на 4 части и напишите в каждой такие вопросы:

1. Что будет, если это произойдёт?
2. Что будет, если это не произойдёт?
3. Чего не будет, если это произойдёт?
4. Чего не будет, если это не произойдёт?

Теперь запишите ответы, которые вы придумали.

Визуализация помогает увидеть основные проблемные вопросы и сомнения, а данная техника предотвращает зацикливание на проблемах.

Навык принимать правильные решения

Нас учат принимать решения после первого года жизни. Начиная от простых естественных, что съесть или что надеть, заканчивая сложными, куда пойти учиться, работать или выбрать спутника жизни.

Мы используем собственный жизненный опыт, а также мнения окружающих и различные установки и постоянно размышляем об эффективности нашего предыдущего и будущего выбора.

Чем старше люди, тем более ответственно они должны относиться к принятым решениям, потому что это может активно повлиять на личные отношения, финансовое состояние, а также положение на работе и в обществе.

Например, когда у вас свой бизнес, то вам придется развивать собственные навыки быстрого решения всех возникающих вопросов. Итак, мы понимаем важность умения делать правильный выбор, поэтому следующий вопрос: как лучше всего это сделать?

Разберёмся подробнее в декартовых вопросах

Психологи утверждают, что все решения должны приниматься человеком осознанно; с минимумом эмоционального воздействия на него.

Одна из наиболее популярных техник остается составление подробного списка с плюсами и основными минусами, а затем их пересчета. Это просто и весьма полезно, но не всегда поможет найти такие варианты, которые связаны с трудными решениями.

Лучшим вариантом было бы рассмотреть использование так называемой модели «Квадрата Декарта», она считается, вероятно, лучшим инструментом для принятия решений.

«Квадрат Декарта» предложил Рене Декарт — известный философ, аналитический инженер и математик. Он популярен как автор философского подхода для радикальных решений. Его известное высказывание «Я мыслю, следовательно, я существую» ставит ниже человека все, кроме самого факта его существования. А «квадратная» технология помогает выявить последствия всякого выбора.

Метод базируется на 4 вопросах:

• Что случится, если это произойдет?
• Что случится, если это не произойдет?
• Что произойдет, если это не случится?
• Что не произойдет, если этого не случится?

Как применить методику Декарта на практике?

Вам нужен листок, ручка, либо карандаш. Разделите его на 4 квадрата, запишите по одному вопросу во все квадраты и приступите к ответам в соответствии с основной проблемой.

Давайте рассмотрим вымышленную проблему, такую как попытка принять правильное решение об изменении направления для студента по управлению бизнесом. Предположим, что он уже несколько месяцев изучает основы управления персоналом вместе с экономикой, а потом понял, что хочет перейти в HR (управление персоналом).

Давайте вместе ответим на 4 вопроса по методике Декарта.

Что будет, если это произойдёт? Что, если я перейду от экономики к управлению персоналом?
Я стану специализироваться на социальных науках, которые, как я понял, мне по душе. Вероятно, зарплата будет у меня меньше по сравнению с зарплатой, если я пойду по экономическому пути. Мне предстоит писать много научных эссе.
Что будет, если это не произойдёт? Что, если я не перейду от экономики к управлению персоналом?
Мне все равно придется упорно заниматься высшей математикой и бухгалтерией, хотя мне эти предметы не по душе. Мне не будет нравиться моя работа. Я буду недоволен ощущением, что нахожусь не там, где хотел быть.
Чего не будет, если это произойдёт? Что случится, когда я перейду на факультет управления персоналом?
Мне придется начать работу с материалами, которые уже изучили все одногруппники. Мои близкие будут, скорее всего, недовольны моим выбором. Все часы, которые я потратил на тяжелую экономику, станут, потрачены впустую.
Чего не будет, если это не произойдёт? Если я не перейду от экономики к управлению персоналом?
Я не буду изучать те области, которые мне по душе. Я не избавлюсь от математики, которую не люблю. Я не выиграю конкурс с моими более опытными коллегами.

Данные вопросы очень сильно помогают в прояснении возможных последствий в будущем и весьма адаптивны. Важно правильно задать вопрос и понять его. Кроме того, вы не должны избегать написания вопросов и ответов, потому что все быстро забывается, если задается мысленно.

Я надеюсь, что эта модель поможет вам. Я бы предложил не только сосредоточиться только на этой технике, исследовать больше и выяснить, что вам больше подходит.

Что может помешать эффективному принятию решений?

Решения должны реализовываться как на личном, так и на общественном уровне. Поэтому вы обязаны придерживаться выбранного решения лично и быть в состоянии убедить других в его достоинствах.

Поэтому эффективный процесс принятия решений должен гарантировать, что вы в состоянии это сделать.

Существует ряд проблем, которые могут помешать эффективному выбору, рассмотрим их.

Недостаток информации

Если у вас недостаточно информации, может показаться, что вы принимаете решение без каких-либо оснований.

Потратьте некоторое время, чтобы собрать необходимые данные, чтобы сообщить свое решение, даже если сроки очень жесткие. При необходимости расставьте приоритеты в сборе информации, определив, какая информация будет для вас наиболее важной.

Слишком много информации

Противоположная проблема, которая встречается удивительно часто: имея так много противоречивой информации, что невозможно увидеть «лес для деревьев«.

Это иногда называют аналитическим параличом, а также используется в качестве тактики для задержки принятия организационных перемен, когда вовлеченные лица требуют все больше информации, прежде чем они смогут определиться.

Эту проблему часто можно решить, собрав всех вместе, чтобы решить, какая информация действительно важна и почему, и установив четкие временные рамки для принятия решений, включая этап сбора информации.

Слишком много людей

Принятие решений большой группой людей весьма затруднено. У каждого свои взгляды, свои ценности. И хотя важно знать, что это за взгляды, и почему и как они важны, может быть важно, чтобы один человек взял на себя ответственность за принятие решения. Иногда, любое действие лучше, чем ничего.

Заинтересованное окружение

Иногда процессы выбора развиваются под тяжестью корыстных интересов. Эти корыстные интересы часто не выражаются открыто, но могут быть решающим препятствием. Поскольку они не выражаются открыто, их трудно четко идентифицировать и поэтому обратиться к ним, но иногда это можно сделать, исследуя их с кем-то вне процесса, но в аналогичной позиции.

Окружение также может помочь изучить рациональные / интуитивные аспекты, обычно с помощью отдельного посредника.

Эмоциональная привязанность

Люди часто очень привязаны к существующему положению вещёй. Решения, как правило, связаны с перспективой перемен, что многие считают трудным.

Отсутствие эмоциональной привязанности

Иногда трудно принять решение, потому что вам просто все равно. В этом случае структурированный метод принятия решений часто может помочь, выделяя плюсы и минусы конкретных вопросов, о которых человек, возможно, раньше не задумывался.

Многие из этих проблем могут быть преодолены с помощью данного метода принятия решений.

Советы при работе с методом:

• Сведите самые сложные решения к поэтапным простым шагам;
• Смотрите, как принимаются какие-либо решения;
• Планируйте принятие решений в установленные сроки.

Было разработано множество различных методов для помощи в принятии решений, начиная от простых эмпирических правил и заканчивая чрезвычайно сложными процедурами. Используемый метод зависит от характера принимаемого решения и его сложности.

Желаю вам принятия правильных решений!

Квадрат Декарта: техника принятия решений

Каждый из нас постоянно сталкивается с необходимостью принятия решений. Мы решаем, чем заняться вечером, куда пойти завтра после работы или учебы, какую специальность выбрать, с кем создавать семью, и т.д. и т.д.

И если простые решения даются нам относительно легко, то с серьезными возникают определенные сложности. Чтобы поступать наиболее взвешенно в любой ситуации, рекомендуется использовать специальную технику принятия решений.

Сегодня мы расскажем вам об удивительном инструменте для развития личности – Квадрате Декарта. К слову сказать, если вам легче воспринимать информацию с помощью видео, тогда смотрите про Квадрат Декарта этот ролик.

Что такое квадрат Декарта

Выдающийся французский философ, математик и ученый Рене Декарт (см. интересные факты о Декарте) предложил уникальную методику для принятия правильного решения вне зависимости от его сложности. Этот метод так и назвали: Квадрат Декарта.

Его суть, как и все гениальное, чрезвычайно проста. Для начала следует нарисовать этот самый квадрат Декарта на листе бумаги. Сделать это совсем не сложно: просто расчертите лист на четыре части.

Когда художественная часть работы закончена, можно приступать к непосредственной технике принятия решения. Для этого ответьте на 4 вопроса:

Квадрат Декарта, как техника принятия решений, – это не просто интересный фокус для бездельников, любящих поболтать на тему развития личности. Это реально действующая методика, многократно подтвердившая свою эффективность.

Попробуйте применить ее в реальной жизни, и вы удивитесь тому, насколько очевидным покажется то или иное решение, которое до работы с квадратом Декарта, казалось чрезвычайно сложным.

Пример использования квадрата Декарта

Для того чтобы понять, как работает данная техника в действительности, приведем пример человека, который хочет устроиться на новую работу.

Чтобы принять решение относительно того, стоит ли менять привычную и хорошо знакомую работу на что–то новое и непредсказуемое, следует ответить на уже знакомые нам вопросы, которых всего четыре.

Что будет, если это произойдет?	Что будет, если это не произойдет?
1.  Я буду иметь более высокую зарплату. 2.  Больше возможностей для личностного роста. 3. Будет интереснее работать, так как эта сфера мне ближе. 4.  Мне нужно будет изучать новые материалы. 5.  Придется выходить из зоны комфорта, так как вначале будет сложно.	1.  У меня будет зарплата, которая не удовлетворяет всех моих потребностей. 2.  У меня будет привычный образ жизни. 3.  Будет постоянное беспокойство в связи с отсутствием перспектив. 4.  У меня понизится самооценка из–за того, что я не решился на трудности для потенциального улучшения своей жизни.
Чего не будет, если это произойдет?	Чего не будет, если это не произойдет?
1.  У меня не будет привычной и размеренной жизни, особенно вначале. 2.  У меня не будет проблем с деньгами. 3.  У меня не будет комплекса вины из-за того, что я не использовал шанс, который мне представился. 4.  У меня не будет долгов и кредитов. 5.  У меня не будет медленной деградации личности.	1.  У меня не будет стрессовых ситуаций, связанных с новой работой. 2.  У меня не будет достаточно денег, чтобы обеспечивать свою семью. 3.  У меня не появятся шансы на карьерный рост. 4.  У меня не будет проблем с изучением новых материалов. 5.  Мне не придется заводить новые контакты и выполнять множество формальностей в новом коллективе.

Метод принятия решений

Имейте в виду, что все ответы нужно записывать на бумагу, чтобы потом правильно принять решение. Более того, заполнять квадрат Декарта можно не самому, а, например, всей семьей, если вы решаете семейный вопрос.

Следует также отметить, что отвечая на вопрос конкретного сектора, постарайтесь полностью абстрагироваться от всех других мыслей. Также не нужно смотреть на вопросы из других частей квадрата Декарта, чтобы они вас не отвлекали.

Если вы думаете над вопросом «Чего не будет, если это произойдет?», думайте только об этом, причем как с положительной, так и с отрицательной позиции, и все, как есть, пишите в соответствующий блок.

И только когда у вас полностью закончатся ответы на этот вопрос, переходите к следующему блоку.

Как принять решение с помощью квадрата Декарта

Принять решение с помощью квадрата Декарта очень просто. Перечитайте свои ответы во всех секторах, и возле каждого положительного аргумента поставьте плюс, а возле каждого отрицательного – минус.

Затем посчитайте количество плюсов и минусов и… делайте то, что велит совесть. 

Данная техника не только эффективная, но и очень точная, что было не раз доказано на практике.

Если вы даже немного знаете историю, то должны понимать, что Декарт плохого не посоветует. Этот парень был очень умным.

Чтобы протестировать технику принятия решений, задайте себе вопрос: стоит ли мне подписаться на сайт InteresnyeFakty.org?

Если суммарное количество плюсов превысит количество минусов – подписывайтесь. Если же минусов будет больше – тогда делайте то, что велит совесть.

Если вам понравилась статья про квадрат Декарта – поделитесь ею в социальных сетях. Если же вам вообще нравятся интересные факты и саморазвитие, а тест на подписку показал отрицательный результат – пройдите его еще раз.

Понравился пост? Нажми любую кнопку:

Интересные факты:

Квадрат Декарта для принятия решений

Жизнь человека состоит из череды принятых им решений и их последствий. Когда мы сталкиваемся с трудностями, то задействуем свой опыт, а иногда перекладываем ответственность выбора на окружающих, и нередко делаем это с оглядкой на ожидания социума. Однако на самом деле наш лучший помощник в принятии решений – собственный разум. В особо стрессовых ситуациях не помешала бы формула, с помощью которой мы могли бы легко взвесить все плюсы и минусы рассматриваемого вопроса. И этой формулой может стать Квадрат Декарта – действенная техника, позволяющая получить наиболее эффективный результат и не ошибиться в выборе.

Что такое Квадрат Декарта и в чем его преимущества

В основе техники, разработанной известным французским математиком, инженером и философом Рене Декартом, лежат четыре вопроса:

1. Что я получу, если это произойдет?
2. Что я получу, если этого не произойдет?
3. Что я потеряю, если это произойдет?
4. Что я потеряю, если этого не произойдет?

Честные и вдумчивые ответы позволят вам рассмотреть вопрос со всех сторон и прийти к нужному решению.

Чем этот способ отличается от классических двух столбиков с аргументами за и против? Традиционный метод, без сомнения, работает, но часто мы не можем ограничиться только плюсами и минусами, потому что нам требуется больше вариантов и проблема должна быть рассмотрена с разных углов. Кроме того, обычно мы задаем себе только один вопрос: «Что случится, если это произойдет?». Из-за такого упрощения, сами того не понимая, мы загоняем себя в ловушку и не пропускаем целый пласт других критериев.

Увидеть ситуацию с разных точек зрения позволяет Квадрат решений Декарта. Благодаря ему вы не будете однобоко фокусироваться на положительной и отрицательной сторонах вопроса, а проанализируете все необходимые аспекты. Среди других важных преимуществ техники – она проста, универсальна и применима при решении вопросов любой важности: как глобальных, так и бытовых; как в работе, так и в личной жизни.

Квадрат Декарта для принятия решений – инструмент, который позволяет семь раз отмерить, прежде чем отрезать

Как использовать Квадрат Декарта на практике?

Для начала вооружитесь карандашом или ручкой и подготовьте лист бумаги. Разделите пространство на четыре части, в каждой из них напишите по одному из вышеуказанных вопросов, а затем дайте честные развернутые ответы на них. И вы увидите, какой вариант оптимальнее других.

Разберем, как использовать методику, на конкретном примере. Допустим, вы размышляете, стоит ли переехать жить в другую страну. Конечно, можно просто задать себе тот самый заветный вопрос: «Что случится, если я перееду?». Это позволит сразу оценить все преимущества, но таким образом вам не удастся прийти к пониманию полноценного, всеобъемлющего ответа, потому что ситуация не будет рассмотрена со всех сторон.

При помощи данной техники принятия решений вы сможете взглянуть на проблемную ситуацию сразу с четырех разных точек зрения, не прибегая при этом к помощи других людей, способных повлиять на ваше мнение и на осознанность решения.

Вопрос 1. Что я получу, если это произойдет?

Ответив на этот вопрос, вы выявите список преимуществ – в данном случае плюсов смены места жительства. Ваша мотивация напрямую зависит от того, что вы напишете в этом столбце, поэтому постарайтесь придумать как можно больше положительных моментов и ни в коем случае не останавливаться на первом, что пришло вам на ум.

1. Если я это сделаю, то воплощу свою мечты – буду работать в иностранной корпорации и больше зарабатывать; куплю дом у моря; смогу ездить в европейские страны каждые выходные и пр.
2. Если я это сделаю, это вдохнет свежего воздуха в мою жизнь, нивелирует рутину.
3. Если я это сделаю, мне больше не придется общаться с надоедливыми нетактичными родственниками и приглашать их в гости.
4. Если я это сделаю, то буду больше уважать себя и моя самооценка повысится, ведь для такого поступка нужна смелость.
5. Если я это сделаю, то у меня появится мотивация наконец-то выучить иностранный язык и завести новые интересные знакомства.
6. Если я это сделаю, то смогу доказать окружающим меня людям, что я способен добиться успеха и в корне изменить свою жизнь.

Вопрос 2. Что я получу, если этого не произойдет?

Этот вопрос связан с поиском плюсов в случае отказа от перемен. Представьте ситуацию, в которой все остается в текущем состоянии. Подумайте о тех положительных моментах, которыми вы обладаете здесь и сейчас и которые вы не хотите потерять.

1. Если я этого не сделаю, мне не придется объясняться перед начальником, коллегами, друзьями и родственниками по поводу моего отъезда.
2. Если я этого не сделаю сейчас, я всегда могу переехать через год-другой, подкопив перед этим денег и обеспечив себе более комфортные условия. Возможно сейчас не лучшее время для такой авантюры.
3. Если я этого не сделаю, мне не придется много заниматься на языковых курсах и стараться адаптироваться к чужой культуре, потому что в этом не будет нужды.
4. Если я этого не сделаю, то смогу спокойно уделять время отдыху и семье, в то время как хлопоты, связанные с переездом, нарушат традиционный уклад моей жизни и неизбежно приведут к стрессу.
5. Если я этого не сделаю, то моя мечта об идеальном месте жительства останется со мной и я смогу черпать из нее энергию и вдохновение.
6. Если я не перееду, то у меня и дальше будет большой оплачиваемый отпуск, в то время как за границей он значительно короче.

Вопрос 3. Что я потеряю, если это произойдет?

Этот пункт обозначит минусы положительного решения. Подумайте, чего вам будет не хватать – возможно, сейчас вы упускаете из вида очевидные преимущества, которыми обладаете.

1. Если я сделаю это, придется на корню менять устоявшиеся привычки и образ жизни: самому считать налоги; экономить на воде и электричестве; осваивать раздельный сбор мусора и пр.
2. Если я сделаю это, придется усиленно работать, и мне будет не хватать времени на привычные развлечения.
3. Если я это сделаю, то не смогу встречаться с друзьями в выходные и отметить с ними Новый год с оливье под бой курантов.
4. Если я перееду, некому будет заботиться о моих родителях: помогать им с дачей, тяжелыми сумками и ремонтом.
5. Если я сделаю это, придется потратиться на чипирование, прививки, перевозку домашнего животного, а также выплачивать дорогую страховку за его содержание.
6. Если я это сделаю, окружающие люди могут счесть меня непатриотичным.

Вопрос 4. Что я потеряю, если этого не произойдет?

Этот вопрос поможет вам выделить определенные недостатки решения в пользу изменений. В то же время записанными здесь пунктами вы отсекаете различные «не», связанные с отказом от выполнения действия. Отвечать необходимо быстро и интуитивно.

1. Если я не сменю страну проживания, я не воплощу в реальность свою мечту, и это будет меня тяготить.
2. Если я не перееду, до конца жизни буду задаваться вопросом: «А что было бы, если бы…?»
3. Если я этого не сделаю, то буду считать себя трусом и неудачником.
4. Если я не перееду, то не приобрету необходимую мотивацию для изучения иностранного языка и знакомств с новыми людьми с другим менталитетом.
5. Если я не сменю страну, то не смогу доказать окружающим, что способен изменить свой образ жизни.
6. Если я не перееду, то рискую надолго погрязнуть в рутине.

Нюансы и советы по использованию

Если вы решили прибегнуть к методике «Квадрат Декарта», обратите внимание на несколько важных пунктов:

• Обязательно используйте бумагу и ручку! Проговаривание вопросов в уме не будет таким эффективным – скорее всего, вы забудете часть ответов, не получите наглядную, всеобъемлющую картинку и, как следствие, не получите и нужных результатов. Кроме того, наше подсознание частенько игнорирует частицу «не», что также приводит к ошибкам.

Есть простой способ убедиться в том, что вашему мозгу сложно воспринимать частицу «не». Попробуйте нарисовать заповедь «Не убий». Вероятнее всего, у вас получится перечеркнутая криминальная сцена. Таким образом, большую часть рисунка будет занимать процесс убийства – то есть именно то, от чего мы и пытаемся уйти. Наше сознание действует по схожему принципу: оно визуализирует действие, о котором вы думаете, даже если вы используете отрицательную частицу. В итоге у вас в голове оседает мысль о самом поступке, а не о том, что он запрещен.

• Постарайтесь быть максимально честным самим с собой. Берите в расчет то, что действительно важно для вас, без оглядки на мнение окружающих и социума.
• Не ленитесь как можно более подробно отвечать на поставленные вопросы. Чем лучше вы распишете все, тем очевиднее для вас будет правильный вариант. Старайтесь указать не менее 6–8 пунктов для каждой ячейки.
• Методика Декарта хороша тем, что ее можно применять в любой неоднозначной ситуации. Чем чаще вы используете Квадрат, тем проще вам будет находить решение. Если освоить эту технику и сделать ее своей привычкой, вы научитесь продумывать собственные действия на несколько шагов вперед.

Все мы порой сталкиваемся со сложными задачами, кажущимися невыполнимыми. Важно научиться не убегать от них, а встречать с поднятой головой – для этого нужно просто найти ключ, который откроет дверь к решению, а подобрать этот ключ поможет Квадрат Декарта. Не требующая много времени и усилий, данная методика прекрасно адаптируема под любые ситуации и позволяет осветить проблему со всех сторон. Но самое, вероятно, главное ее достоинство – в том, что она привносит упорядоченность в хаос безумного темпа жизни, ведь, как говорил сам Рене Декарт, «порядок освобождает мысль».

Улучшенная методика Квадрат Декарта для принятия решений

Зависит ли способность принимать правильные решения от нашего интеллекта, опыта, воли, интуиции? Безусловно, да. А можем ли мы развить в себе способность всегда принимать правильные решения? Возможно. Вопрос в том, сколько это займет времени. 

А если эти решения нужны уже сейчас? Если они тянут за собой последствия не только для вас, но и для других: для целой компании, возможно, для бизнеса. Насколько важно не ошибиться?

И тут, пожалуй, самое время перейти от интуитивного способа решения вопросов к более научной основе. Есть методики, которые позволяют подготовить для принятия решения некоторое обоснование, собрать и, главное, систематизировать информацию. И уже не нужно будет маяться в стиле “Быть или не быть?”.

Смотрите в нашем видео: улучшенная методика принятия решений для бизнеса и жизни

Максим Зосим делится своим опытом и рассказывает, по какой методике принимаются решения в ИТ-компании.

Самый простой способ оценить — проставить плюсы / минусы. Всегда ли он работает?

Если вы уже пробовали помогать себе принимать решения, то наверняка знакомы с методом плюсов и минусов.

Нужно написать свой вопрос на бумаге и в две колонки выписать плюсы и минусы. Это довольно наглядно и почти интуитивно, именно так мы поступаем мысленно. Недостаток метода в том, что каждый пункт никак не взвешивается по степени значимости.

Получается набор негативных и позитивных факторов и отсутствие информации о степени их важности.

И нужно хоть как-то улучшить этот метод. Например, выписать все плюсы и минусы на бумаге или в электронном виде.

Такой список внесет конкретику и позволит уточнить обстоятельства. Но он зачастую не дает достаточного ответа, поскольку сложно из облака преимуществ и недостатков сформулировать однозначный вывод.

Этот метод не применим для сложных вопросов.

Принятие решений по квадрату Декарта — чего не хватает?

Более совершенный метод принятия решений, который мы сегодня рассмотрим, — это Квадрат Декарта.

Рене Дека́рт — французский философ, физик, математик 17 века. Тот самый Декарт, который внедрил систему координат.

Он же разработал универсальную систему для принятия решений. Ее успешно используют по сегодня.

Для принятия решения по методу Квадрата Декарта нужно расчертить лист на 4 части, в каждой из которых поместить ответы на 4 вопроса. Два из них нам наверняка знакомы:

• “Что будет, если это произойдет?”,
• “Что будет, если это не произойдет?”

И еще два более редко задаваемых, они лежат в отрицательной части координатного поля:

• “Чего не будет, если это произойдет?” и
• “Чего не будет, если это не произойдёт?”

Ответы на эти вопросы значительно расширяют поле вариантов для принятия решения.

Где еще применяется идея Декарта

Декарт был прозорливым ученым, поскольку трудно себе представить науку без его системы координат. Его четыре квадрата используются во многих системах для бизнеса. Например, всем известный SWOT-анализ для выявления сильных и слабых сторон, возможностей и угроз.

А Стивен Кови в книге “7 навыков высокоэффективных людей” разделяет задачи на 4 квадрата:

• важные и срочные,
• важные и не срочные,
• неважные и срочные,
• неважные и не срочные.

И глядя на этот список, человек сразу понимает, в каком квадрате нужно работать в первую очередь.

Еще Конивин так же делит в своей методологии по определенности, в какой зоне проекта вы находитесь.

И такая матрица Декарта используется еще во многих методиках — очень практичный инструмент.

Улучшенная методика Декарта — что подсказал опыт проектной работы?

Но для реального использования даже его пришлось немного доработать.

При использовании в работе Квадрата Декарта в классическом виде не получалось ответить на все вопросы. Принимать решение по-прежнему было сложно. Было не понятно, что нужно или не нужно выбрать. Поэтому я стал дорабатывать способ, чтобы было легче его применять как для себя, так и в работе.

Как усовершенствовать Квадрат Декарта для принятия решений в компании?

Я вам представлю тот Квадрат Декарта, который я переделал, улучшил и с которым работаю постоянно.

Квадраты строятся следующим образом, по горизонтали:

1. Положительный эффект от события,
2. Отрицательный эффект.

По вертикали квадрат разделяется на:

1. произошло событие или
2. не произошло событие.

В каждый из 4-х квадратов мы вписываем определенные факты, которые произойдут или нет, как и предполагает методология Декарта.

В получившемся списке есть возможность проставить вес каждого факта — то, насколько он важен.

Далее можно посчитать сумму веса всех факторов — отрицательных и положительных.

Сравниваем их, и можно наглядно увидеть, какое решение перевешивает.

Для личного использования, если ты сам принимаешь решения, этот способ очень удобный.

Но в коллективной работе, когда в команде участвует 4, 5 или больше человек, оказывается, что оценка веса одного и того же факта сильно отличается.

Поэтому пришлось применять дополнительные инструменты.

Как это выглядит на практике.

Оценка веса фактов для Квадрата Декарта при командной работе

Сначала мы проводим по вопросу брейншторм (мозговой штурм). Вся команда генерирует факторы успехов и неудач. Выписываем их на листочки и вывешиваем их на доску в соответствующие квадраты.

Несколько похожих описаний лучше сгруппировать в один четкий факт.

Далее выставляем оценки.

Участники команды обычно имеют свой взгляд на значимость фактов, поэтому оценки могут быть неоднородными.

Например, по одному факту оценки могут быть примерно однородными: 10, 8, 9, 8 — такая оценка считается в пределах нормы отклонения.

Но если из всей группы один человек оценил факт значительно выше или ниже остальных — на такую оценку стоит обратить внимание и уточнить ее. Тут может быть, что для этого специалиста либо фактор не играет большой роли, либо он недостаточно вник в суть вопроса.

Обязательно нужно провести беседу и выяснить причину такой оценки. Возможно, специалист ее повысит, или же это его принципиальная оценка.

Веса по каждому факту суммируются. И по итогу мы получаем логичный результат, выраженный в цифре.

Суммы благоприятного и неблагоприятного весов при наличии события или при его отсутствии показывают, в каком квадрате находится решение. Остается его принять.

Рассмотрим пример.

Если мы будем делать проект или не будем его делать. Принимаем новую стратегию.

Считаем вес положительных факторов в квадрате, где событие произойдет. Получаем 57.

А в квадрате, где событие не произойдет, вес положительного эффекта составит 55.

Получается, решения, основанного на преимуществах, здесь нет. И не важно, будем мы делать проект или нет — позитивный эффект равнозначный.

Посмотрим теперь на отрицательный эффект:

Сумма веса отрицательных факторов, если событие произойдет, равна 46.

А если оно не произойдет, то негативное влияние оценено в 90. Это уже совсем другая ситуация. Преимуществ от события не много, но потерь в случае отсутствия в 2 раза больше.

И это мнение всей команды: если мы не сделаем этот проект, то получим очень высокий отрицательный эффект — выше, чем положительный.

Поэтому решение очевидно: мы беремся за осуществление этого проекта.

В своей личной практике этот метод работает так же хорошо, но решение опирается только на свои персональные и субъективные оценки.

В компании этот метод используем в команде от 10 участников.

Сколько факторов выписывать для релевантной оценки

Чтобы оптимально и взвешенно оценить влияние эффектов от событий, нужно выписать минимум 5 фактов. Можно больше. Тогда оценки будут демонстрировать реальный вес влияния, чтобы оценить ценность события. Какие-то факторы будут чрезвычайно важны, какие-то мало важны. Но главное в этой оценке и то, что ее отличает от классического подхода, — это именно числовая оценка веса. Появляются цифры. Ими можно оперировать.

Удобство доработанного метода 

Если бы мы пользовались классической методологией Декарта и просто выписали все факторы и поставили возле них плюсы/минусы, нам все равно было бы сложно понять, где однозначное решение. Потому что пришлось бы у себя в голове держать весь объем этих факторов, оценивая, насколько все они важны для этой ситуации и вас лично.

Например, отрицательный эффект: не хватит денег. Важен ли этот фактор сейчас для нас или для компании в целом — не совсем понятно.

А в нашем варианте мы добавили  немного цифр — и все становится измеримым.

Этот инструмент я доработал для себя и оценил его удобство, работая в команде.
Теперь делюсь с вами. Пользуйтесь! 

Вам это упростит множество решений.

Смотреть на нашем канале: Видео Квадрат Декарта >>>

Если у вас есть вопросы, присылайте!

Го!

Видео о ключевых моментах внедрения систем автоматизации на канале TQM systems: кейсы, методики работы, параметры выбора, новые разработки и возможности.

Наши контакты >>>

Art: ,ID:

• Контент-маркетолог TQM systems (1C / BAS) Nataliya Raevskaya
• 6/12/2020 9:56:43 PM
• articles

о принятии решений про себя

Квадрат Декарта: как пользоваться техникой (с примерами)

Техника принятия решений

Квадрат Декарта используют в ситуациях, когда от выбора между “да” и “нет” зависит качество дальнейшей жизни. Выглядит он так:

Желательно прописывать пункты каждого квадранта на бумаге, так сказать, “думать рукой” (как бы это ни звучало). Но если вам ближе вариант квадрата Декарта онлайн, то можете перейти сюда и скачать квадрат к себе на устройство либо сделать его копию у себя на Google Диске, и писать прямо там.

Пройдемся по каждому квадранту отдельно.

• Что будет, если это произойдет? В этой части квадрата нужно записать все, что вы получите, если примете положительное решение. К этому квадранту относятся все выгоды, как материальные, так и нематериальные. Ниже я разберу на примерах, что именно это может быть.
• Что будет, если этого не произойдет? Тут тоже будут выгоды, но уже от отрицательного решения. Важно сфокусироваться на реальных преимуществах, мыслить в положительном ключе.
• Чего НЕ будет, если это произойдет? Теперь, наоборот – пишем о страхах и предполагаемых трудностях. Будьте честны с собой: у принятия важных решений всегда есть недостатки. Их и записывайте.
• Чего НЕ будет, если этого не произойдет? Опять же, прописываем те проблемы, которые могут возникнуть, но уже в том случае, если решение отрицательное.

Как применять квадрат Декарта на практике? Примеры

Чтобы было ясно, о чем вообще речь, я подобрала два примера. В одном окончательное решение отрицательное, в другом положительное. Но учтите, что эти примеры очень упрощенные и персонализированные – у вас на те же самые ситуации могут быть совсем другие плюсы и минусы, и это вполне нормально.

Пример 1. Дорогая покупка в кредит, пусть будет машина.

Что будет, если это произойдет? личный транспорт: комфортно добираться до работы/ездить на отдых научусь наконец водить, а то все люди как люди, а я пешеход сокращу время на транспортировку ребенка в школу и по кружкам и секциям

Что будет, если этого не произойдет? сможем семьей полететь в Италию осенью за счет экономии денег (давно об этом мечтала) буду добираться на работу пешком, живу в 20 минутах ходьбы от офиса (полезно для здоровья) продолжим копить на новую, более просторную квартиру

Чего НЕ будет, если это произойдет? денег долгое время будет не хватать на привычные затраты, нужно будет существенно сократить расходы покоя не будет: все знакомые мужчины с машинами рассказывают как ни про аварии, так про бесконечный ремонт или ТО своих тачек. Мне всего этого не хочется времени на свои проекты станет меньше, потому что нужно будет думать об автомойках, СТО, заправках и вот это вот все.

Чего НЕ будет, если этого не произойдет? комфорта – буду дальше трястись в маршрутках и автобусах, если нужно куда-то поехать. Хорошо, хоть езжу я не часто, и люблю путешествовать поездом.

Ну вы поняли – лично мне, исходя из этого анализа, автомобиль не нужен 🙂 Но у вас аргументы могут быть другие и они заслуживают того, чтобы быть учтенными.

Пример 2. Решение открыть собственное дело.

Что будет, если это произойдет? смогу найти и реализовать себя в том, в чем давно хотела, но не было повода приобрету новые, важные для меня навыки ведения бизнеса буду делать вещи, которые, по моему мнению, действительно делают мир лучше	Что будет, если этого не произойдет? стабильность, насиженное место работы и хорошая зарплата время на отдых, семью и друзей
Чего НЕ будет, если это произойдет? свободного времени точно будет не хватать. Придется отказаться от каких-то развлечений и частично от отдыха денег тоже будет маловато, свой бизнес требует вложений. Нужно пересмотреть свои расходы	Чего НЕ будет, если этого не произойдет? внутренней гармонии. Буду жалеть, что так и не попробовала свободы выбора и действий в проектах: последнее слово всегда будет за человеком, на которого я работаю честности с самой собой: не дай Бог придется притворяться, что я счастлива и самореализована, когда это не так

В итоге я выбрала собственное дело, и не одно! Потому что мне важно реализовывать собственные ценности, даже если от этого страдает моя финансовая стабильность. Но ваши решения и аргументы “за/против” могут быть совершенно другими, люди все разные.

Лайфхак про принятие решений

Очень важная мысль в заключение: техника квадрата Декарта помогает вам не просто ответить “да” или “нет”, а найти правильное решение. Ошибочно думать, что выбор колеблется между двумя точками, на самом деле их огромное множество!

Но чтобы увидеть разные опции (натолкнуть себя на них), надо осознавать достоинства и недостатки решения. Пользуйтесь квадратом для того, чтоб увидеть полную картину и разглядеть разные варианты.

Квадрат Декарта — универсальная техника на любой случай жизни

Квадрат Декарта — универсальная техника на любой случай жизни.

Бывают ситуации, когда мы встаем перед выбором, который сложно сделать. Есть внутренние противоречия, говорящие в пользу как одного, так и другого решения. Как правило, сделать выбор в такой ситуации бывает сложно по причине того, что мы зацикливаемся на рассмотрении вопроса: что будет если это произойдет. И, таким образом, крутимся в тех положительных и отрицательных аспектах, если решение будет принято.

Квадрат Декарта предлагает рассмотреть ситуацию со всех сторон. Для этого надо письменно ответить себе на четыре вопроса:

• Что произойдет, если я это сделаю?
• Что произойдет, если я этого не сделаю?
• Чего не произойдет, если я это сделаю?
• Чего не произойдет, если я этого не сделаю?

Это обязательно нужно сделать письменно потому, что:

• это позволит диссоциироваться от ситуации и смотреть на все с холодной головой;
• вам наглядно будет виден результат размышлений и ход мыслей,
• запомнить все ответы и держать их в памяти сложно и часть может потеряться, что снизит объективность.

Далее необходимо проанализировать результаты. Сравнить преимущества и недостатки каждого из вариантов решения. И сделать наиболее подходящий выбор, исходя из ваших приоритетов. Обычно выбор после такого анализа становится очевиден.

Данную технику можно применять практически в любой сфере жизни – от сложных жизнеопределяющих решений до бытовых мелочей.

Также квадрат Декарта можно применять и для анализа прошлых ситуаций и прошлого опыта. Например, десять лет назад вы приняли решение остаться в своем городе и отказались от предложения о работе в другом городе. Очень полезно проанализировать, ответив себе на 4 вопроса из квадрата:

• Что произошло, когда я это сделал?
• Что произошло, если бы я это не сделал?
• Что не произошло, из-за того, что я это сделал?
• Что не произошло бы, если бы я этого не сделал?

Зачем это нужно? Наш прошлый опыт – это череда принятых решений. И если сейчас вас не сильно устраивает ваше положение, будь то в финансовой сфере, личных отношениях, в профессии, бизнесе, то сейчас как раз самое время оценить: а как вы принимали решения всю жизнь? Что руководило вами, когда вы соглашались или отказывались? Возможно, проанализировав свой прошлый опыт принятия решений, стоя сейчас перед выбором вы сможете осознать, что прежде, например, принимали решения из тревожного опасения, что не получится, а потом сожалели об этом. Или поймете, что слишком плохо продумывали свои решения и впоследствии несли потери.

Еще квадрат Декарта может быть полезен для анализа текущей ситуации в вашей жизни и постановки целей. Для этого нужно выбрать беспокоящий вас контекст жизни и также ответить на вопросы:

• Что есть сейчас и это хорошо?
• Что есть сейчас и это плохо?
• Что не происходит (чего нет) сейчас и это хорошо?
• Что не происходит (чего нет) сейчас и это плохо?

Этот метод позволит вам диссоциированно посмотреть на ситуацию в выбранном контексте. А ответы на вопрос «Что не происходит сейчас и это плохо?» даст понимание, на что направить свои силы и позволит сформулировать цели. Ответ на вопрос «Что происходит сейчас и это плохо?» даст понимание о препятствиях, которые у вас есть и также поможет сформулировать цели для их устранения.

Данная техника может быть применена практически в любом направлении, где нужно что-то прояснить, выйти из мысленного зацикливания, сделать выводы, принять решение.

Автор: Наталия Соколова 
Студентка Института Современного НЛП СПб 
Квалификация: Сертифицированный НЛП-Практик, НЛП-Мастер, Коуч-консультант

Квадрат Декарта как техника принятия решений

Как часто в работе нам приходится оперативно принимать важные решения, делать, казалось бы, невозможный выбор.  Каждый день мы прокручиваем в голове несколько сценариев, размышляем, как лучше поступить, что предпочесть. Как правило, делая выбор, сотрудники строят логические цепочки, но … каждый человек при длительных размышлениях склонен концентрироваться на одном-двух сценариях, самостоятельно загоняя себя в тупик.

Еще в XVII веке французский философ Рене Декарт обучил своих студентов универсальной технике принятия решений.  Приверженец рационального мышления и принципов дуализма, ученый создал удобный квадрат решений, который впоследствии и стал именоваться квадратом Декарта.  Эта методика до сих пор считается одной из самых эффективных.

Квадрат Декарта позволит выбрать тот или иной путь буквально за считанные минуты, четко установить значимые критерии оценки и увидеть последствия выбранного варианта.

Вы хотите сменить род деятельности, но сомневаетесь, будете ли также успешны в новой должности?  Планируете переехать в другую страну, но не уверены, адаптируетесь ли в чужой среде? Может быть, вам нужно взяться за неожиданный амбициозный проект, в ущерб своим текущим задачам? Нарисуйте квадрат Декарта,  задайте себе четыре простых вопроса и взгляните на ситуацию с разных сторон.

Что случится, если это произойдёт?

Какие плюсы мы получим, если желаемое событие наступит? Безусловно, на этот вопрос у каждого найдется максимум ответов, однако, не ленитесь записать их все в сектор квадрата. Эта ячейка станет мотивацией при принятии решения.

Что случится, если это НЕ произойдёт?

Декарт усложняет задачу – теперь нам предстоит выписать все плюсы от нереализованной цели. Подумайте и ответьте на вопросы – что случится, если вы откажетесь от изменений и «оставите все как есть». Зафиксируйте все преимущества настоящего положения дел. Может быть, ваша жизнь не так уж плоха?

Чего НЕ случится, если это произойдёт?

Какие «подводные камни» ожидают нас при получении желаемого?  Нужно понять, что вы потеряете, если примете решение.

Чего НЕ случится, если это НЕ произойдёт?

Отвечая на этот вопрос, вы определяете минусы непринятого решения, отсекаете оставшиеся сомнения, которые мешают вашему выбору.  Может быть, вы потеряете слишком много, если не пойдете вслед за судьбой?

Формулировать ответы следует быстро, опираясь на интуицию.  Квадрат Декарта можно применять не только в профессиональной деятельности, но и в любой другой области. Однако помните: все ответы обязательно стоит записывать, мысленные аргументы не сработают. Вы можете запутаться в суждениях и попросту забыть важные пункты. Кроме того, наше подсознание автоматически игнорирует частицу «не», так что вероятность принятия необъективного решения велика.

Обязательно распечатайте квадрат и отвечайте на поставленный вопрос в соответствующем секторе. Сам процесс записи тезисов активизирует ваши мысли, конвертируя их в связные выводы, что поможет вам пойти по правильному пути. Успехов!

Вернуться к списку публикаций

Квадрат Декарта: как быстро принимать решения

Этот метод поможет вам быстро принимать решения, делая проблему менее сложной и более понятной.

Вопросы Декарта разбивают сложное решение на более простые вопросы.

Метод Декарта

Коротко о методе Декарта

Метод «Квадрат Декарта» назван в честь французского философа 17 века Рене Декарта (автора выражения «Я думаю, значит, я есть»).

Когда вы столкнетесь с выбором, выполнять ли действие, возьмите лист, затем разделите его на 4 части и запишите в каждую следующие вопросы:

1. Что произойдет, если это произойдет?
2. Что делать, если этого не происходит?
3. Что не произойдет, если это произойдет?
4. Что не произойдет, если этого не произойдет?

Теперь напишите ответы, которые вы пришли.

Визуализация помогает увидеть основные проблемные вопросы и сомнения, и этот метод предотвращает застревание в проблемах.

Умение принимать правильные решения принимать правильные решения

Они учат нас принимать решения после первого года жизни. Начиная с простого натурального, что есть или что надевать, наконец, со сложного, куда пойти учиться, работать или выбрать спутника жизни.

Мы используем наш собственный жизненный опыт, мнения других и различное отношение. Несомненно, мы постоянно размышляем об эффективности наших предыдущих и будущих выборов.

Чем старше люди, тем более ответственно они должны относиться к принимаемым решениям, потому что это может активно влиять на личные отношения, финансовое состояние и положение на работе и в обществе.

Например, когда у вас есть собственный бизнес, вам необходимо развивать собственные навыки, чтобы быстро решать все возникающие вопросы. Итак, мы понимаем важность знания того, как делать правильный выбор, поэтому следующий вопрос: как лучше всего это сделать?

Давайте разберемся в декартовых вопросах

4вопроса

Психологи говорят, что все решения должен принимать человек осознанно; при условии, что с минимальным эмоциональным воздействием на него.

Одним из самых популярных методов остается составление подробного списка с указанием плюсов и минусов, а затем их пересчет. Это просто и очень полезно, но не всегда поможет вам найти варианты, требующие трудных решений.

Лучшим вариантом было бы рассмотреть возможность использования так называемой модели «Квадрат Декарта», которая, возможно, является лучшим инструментом для принятия решений.

Рене Декарт, известный философ, инженер-аналитик и математик, предложил квадрат Декарта.Он популярен как автор философского подхода к радикальным решениям.
Его известное высказывание «Я думаю, следовательно, я существую» ставит все ниже человека, кроме самого факта его существования. Также «квадратная» технология помогает выявить последствия любого выбора.

Метод основан на 4 вопросах:

• Что произойдет, если это произойдет?
• Что будет, если этого не произойдет?
• Что не произойдет, если это произойдет?
• Что не произойдет, если этого не произойдет?

Как применить технику Декарта на практике?

Техника Декарта

Вам понадобится лист бумаги, ручка или карандаш.Разделите его на 4 квадрата, напишите по одному вопросу во всех квадратах, затем приступайте к ответам в соответствии с основной проблемой.

позволяет нам рассмотреть вымышленную проблему, такую ​​как попытка принять правильное решение о смене направления для студента, изучающего бизнес-менеджмент.

Предположим, что он несколько месяцев изучал основы управления человеческими ресурсами вместе с экономикой, а потом понял, что хочет перейти в HR (управление персоналом).

Давайте вместе ответим на 4 вопроса, используя квадрат Декарта.

Что произойдет, если это произойдет?

Что, если я перейду от экономики к управлению персоналом?

• Я буду специализироваться на социальных науках, которые мне понятны.
• Возможно, моя зарплата будет меньше, чем моя, если я буду идти экономическим путем.
• Мне нужно написать много научных эссе.

Что делать, если этого не происходит?

Что, если я не перейду от экономики к управлению персоналом?

• Мне все равно придется упорно заниматься высшей математикой и бухгалтерией, хотя эти предметы мне не по душе.
• Мне не понравится моя работа.
• Я буду недоволен ощущением, что я не там, где хотел быть.

Что не произойдет, если это произойдет?

Что произойдет, когда я перейду в отдел кадров?

• Придется работать с материалами, которые все мои одноклассники уже изучили.
• Мои близкие, скорее всего, будут недовольны моим выбором.
• Все часы, которые я потратил на тяжелую экономику, будут потрачены зря.

Что не есть, если этого не происходит?

Если я не перейду от экономики к управлению человеческими ресурсами?

• Не буду исследовать области, которые мне нравятся.
• Я не избавлюсь от математики, которая мне не нравится.
• Я не выиграю соревнование со своими более опытными коллегами.

---

Эти вопросы очень полезны для выяснения последствий и легко адаптируются. Важно правильно спросить и понять это.Также не следует избегать написания вопросов и ответов, потому что все быстро забывается, если задать вопрос мысленно.

Надеюсь, эта модель вам поможет. Я бы посоветовал не только сосредоточиться только на этой технике, но и изучить больше и выяснить, какой из них лучше всего подходит для вас.

Что может помешать эффективному принятию решений?

Эффективное принятие решений?

Он должен реализовывать решения как на личном, так и на общественном уровне. Поэтому вы обязаны лично придерживаться выбранного решения и суметь убедить других в его достоинствах.

Следовательно, эффективный процесс принятия решений должен гарантировать, что вы сможете это сделать.

Есть несколько проблем, которые могут помешать эффективному выбору, рассмотрим их.

Отсутствие информации

Недостаток информации

Если у вас недостаточно информации, может показаться, что вы принимаете решение без всякой причины.

Найдите время, чтобы собрать данные, чтобы сообщить о своем решении, даже если крайний срок сжат. Расставьте приоритеты в сборе информации, определив, какая информация для вас наиболее важна.

Слишком много информации

Слишком много информации

Обычна противоположная проблема: с таким количеством противоречивой информации, что невозможно увидеть «лес за деревьями».

Иногда это называют аналитическим параличом, и он также используется как тактика для отсрочки принятия организационных изменений, когда вовлеченные лица требуют дополнительной информации, прежде чем они смогут принять решение.

Эту проблему часто можно решить. Например, собрать всех вместе, чтобы решить, какая информация действительно важна и почему, и установить четкие временные рамки для принятия решений, включая этап сбора информации.

Слишком много людей

Принятие решений с большой группой людей

Принятие решений с большой группой людей очень сложно. У каждого свои взгляды, свои ценности. Хотя важно знать, каковы эти взгляды, почему и насколько они важны, может быть важно, чтобы один человек взял на себя ответственность за принятие решения. Иногда любое действие лучше, чем ничего.

Заинтересованная среда

Заинтересованная среда

Иногда процессы отбора развиваются под тяжестью корыстных интересов.Эти корыстные интересы часто не выражаются открыто, но могут стать решающим препятствием. Поскольку они не выражены открыто, их трудно четко идентифицировать и, следовательно, ссылаться на них, но иногда это можно сделать, исследуя их с кем-то вне процесса, но в аналогичном положении.

Окружающая среда также может помочь исследовать рациональные / интуитивные аспекты, обычно с помощью отдельного фасилитатора.

Эмоциональная привязанность

Эмоциональная привязанность

Люди часто очень привязаны к существующему положению вещей.По сути, решения связаны с перспективой перемен, что для многих затруднительно.

Отсутствие эмоциональной привязанности

Иногда бывает трудно принять решение, потому что тебе все равно. Здесь часто помогает структурированное принятие решений, выделяя плюсы и минусы конкретных вопросов, о которых человек, возможно, не задумывался раньше.

Он может преодолеть многие из этих проблем с помощью этого метода принятия решений.

принятие решения в жизни

Советы по работе с методом квадрата Декарта:

• Сведите самые сложные решения к пошаговым простым шагам;
• Посмотрите, сколько решений вы приняли;
• Планируйте вовремя принимать решения.

Он разработал множество методов для помощи в принятии решений, сначала от простых практических правил до чрезвычайно сложных процедур. Однако используемый метод зависит от принимаемого решения и его сложности.

Желаю вам правильных решений!

Вам также может понравиться

Площадь

и ее свойства. (Координатная геометрия)

Квадрат и его свойства. (Координатная геометрия) — Открытый справочник по математике

Попробуй это Перетащите любую вершину квадрата ниже.Он останется квадратом, и его размеры будут рассчитаны по его координатам. Вы также можете перетащить исходную точку на (0,0) или перетащить сам квадрат.

В координатной геометрии квадрат похож на обычный квадрат. (См. Определение Square) с добавлением, что его позиция на координатная плоскость известен. Каждой из четырех вершин (углов) известно координаты. По этим координатам можно найти различные свойства, такие как ширина, высота и т. Д.
Он имеет все те же свойства, что и привычный квадрат, например:

См. Определение квадрата для получения дополнительной информации.

Размеры квадрата

Размеры квадрата находятся путем вычисления расстояния между различными угловыми точками. Напомним, что мы можем найти расстояние между любыми двумя точками, если знаем их координаты. (См. Расстояние между двумя точками) Итак, на рисунке выше:

• Длина каждой стороны квадрата — это расстояние между любыми двумя соседними точками (скажем, AB или AD)
• Длина диагонали — это расстояние между противоположными углами, скажем, B и D (или A, C, поскольку диагонали совпадают).

Этот метод будет работать, даже если квадрат повернут на плоскости (нажмите на «повернутый» выше). Но если стороны квадрата параллельны осям x и y, тогда расчеты могут быть немного проще.
На приведенном выше рисунке снимите флажок «повернутый». и обратите внимание, что Длина стороны — это разница в координатах y любой левой и правой точки — например, A и B.

Пример

В приведенном ниже примере предполагается, что вы знаете, как рассчитать расстояние между двумя точками, как описано в Расстояние между двумя точками.На рисунке выше нажмите «сбросить», «повернуть» и «показать диагонали».

• Длина стороны квадрата — это расстояние между любыми двумя соседними вершины. Выберем B и C. Используя формулу расстояния между двумя точками:
  
• Длина диагонали — это расстояние между любой парой противоположных вершин. В квадрате диагональ также равна длине стороны, умноженной на квадратный корень из двух:

Площадь и периметр

Они описаны на отдельной странице.Видеть Площадь и периметр квадрата (координатная геометрия)

Что попробовать

На рисунке вверху страницы нажмите «скрыть детали». Затем перетащите квадрат или любой из его углов, чтобы создать произвольный квадрат. Рассчитайте ширину, высоту и длину диагоналей. Нажмите «показать подробности» и «показать диагонали», чтобы проверить свой ответ.

Ограничения

Для большей ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака.Это может привести к небольшому отклонению расчетов.

Подробнее см. Учебные заметки

Другие темы о координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Геометрия | математика | Britannica

Самые ранние известные однозначные примеры письменных записей — датируемые Египтом и Месопотамией около 3100 г. до н.э. — демонстрируют, что древние народы уже начали разрабатывать математические правила и методы, полезные для съемки земельных участков, строительства зданий и измерения контейнеров для хранения.Начиная примерно с VI века до нашей эры, греки собрали и расширили эти практические знания и на их основе обобщили абстрактный предмет, ныне известный как геометрия, из сочетания греческих слов geo («Земля») и metron («мера»). ) для измерения Земли.

В дополнение к описанию некоторых достижений древних греков, в частности, логического развития геометрии Евклидом в Elements , в этой статье исследуются некоторые приложения геометрии к астрономии, картографии и живописи от классической Греции до средневекового ислама и Европы эпохи Возрождения. .Он завершается кратким обсуждением расширений неевклидовой и многомерной геометрии в современную эпоху.

Древняя геометрия: практическая и эмпирическая

Происхождение геометрии лежит в повседневной жизни. Традиционный отчет, сохраненный в «Истории » Геродота (V век до н. Э.), Приписывает египтянам создание геодезических изысканий для восстановления стоимости собственности после ежегодного разлива Нила. Точно так же стремление узнать объемы твердых цифр проистекает из необходимости оценивать дань, хранить нефть и зерно и строить плотины и пирамиды.Даже три сложные геометрические задачи древних времен — удвоение куба, разрезание угла и квадрат круга, которые будут обсуждаться позже, — вероятно, возникли из практических вопросов, из религиозных ритуалов, хронометража и строительства, соответственно, в догреческие общества Средиземноморья. И главный предмет поздней греческой геометрии, теория конических сечений, обязана своим общим значением, а, возможно, и своим происхождением, своим приложением к оптике и астрономии.

В то время как многие древние люди, известные и неизвестные, внесли свой вклад в эту тему, ни один из них не сравнится с влиянием Евклида и его Элементов геометрии, книги, которой сейчас 2300 лет и которая является объектом столь же болезненного и кропотливого изучения, как Библия.Однако об Евклиде известно гораздо меньше, чем о Моисее. Фактически, единственное, что известно с достаточной степенью уверенности, — это то, что Евклид преподавал в Александрийской библиотеке во время правления Птолемея I (323–285 / 283 гг. До н. Э.). Евклид писал не только по геометрии, но также по астрономии и оптике, а также, возможно, по механике и музыке. Только Elements , который был широко скопирован и переведен, уцелел.

Евклид « Элементы » был настолько закончен и ясно написан, что буквально перечеркнул работу его предшественников.То, что известно о греческой геометрии до него, происходит главным образом из отрывков, цитируемых Платоном и Аристотелем, а также более поздними математиками и комментаторами. Среди других ценных вещей, которые они сохранили, — некоторые результаты и общий подход Пифагора ( c. 580– c. 500 до н. Э.) И его последователей. Пифагорейцы убедили себя, что все вещи являются числами или обязаны своим отношением к числам. Доктрина придавала математике первостепенное значение в исследовании и понимании мира.Платон разработал аналогичную точку зрения, и философы, находящиеся под влиянием Пифагора или Платона, часто восторженно писали о геометрии как о ключах к интерпретации Вселенной. Таким образом, древняя геометрия приобрела ассоциацию с возвышенным, чтобы дополнить ее земное происхождение и репутацию образца точного рассуждения.

Нахождение прямого угла

Древние строители и геодезисты должны были уметь строить прямые углы в поле по запросу. Метод, применявшийся египтянами, принес им в Греции прозвище «съемники каната», по-видимому, потому, что они использовали веревку для составления инструкций по строительству.Один из способов, которым они могли использовать веревку для построения прямоугольных треугольников, состоял в том, чтобы пометить веревку с петлей с узлами, чтобы веревка, удерживая ее за узлы и сильно натянув, образовывала прямоугольный треугольник. Самый простой способ выполнить трюк — взять веревку длиной 12 единиц, завязать узел на 3 единицы с одного конца и еще на 5 единиц с другого конца, а затем связать концы вместе, чтобы сформировать петлю, как показано на анимация. Однако египетские писцы не оставили нам инструкций по этим процедурам, а тем более намеков на то, что они знали, как их обобщить, чтобы получить теорему Пифагора: квадрат на прямой напротив прямого угла равен сумме квадратов на двух других. стороны.Точно так же ведические писания древней Индии содержат разделы, называемые sulvasutra s, или «правила веревки», для точного расположения жертвенных алтарей. Необходимые прямые углы были сделаны веревками, отмеченными для получения триад (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

В вавилонских глиняных табличках ( ок. 1700–1500 гг. До н. Э.) Современные историки обнаружили проблемы, решения которых указывают на то, что теорема Пифагора и некоторые особые триады были известны более чем за тысячу лет до Евклида.Однако у прямоугольного треугольника, созданного наугад, очень маловероятно, что все его стороны будут измеряться одной и той же единицей измерения, то есть, каждая сторона будет целым числом, кратным некоторой общей единице измерения. Этот факт, который был шокирован пифагорейцами, породил концепцию и теорию несоизмеримости.

Поиск недоступного

Согласно древней традиции, Фалес Милетский, живший до Пифагора в VI веке до нашей эры, изобрел способ измерения недоступных высот, таких как египетские пирамиды.Хотя ни одно из его сочинений не сохранилось, Фалес, возможно, хорошо знал о вавилонском наблюдении, что для одинаковых треугольников (треугольников, имеющих одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер) длина каждой соответствующей стороны увеличивается (или уменьшается) на одно и то же число. Определение высоты башни с помощью подобных треугольников показано на рисунке. Древние китайцы достигли измерения недоступных высот и расстояний другим путем, используя «дополнительные» прямоугольники, как показано на следующем рисунке, который, как можно показать, дает результаты, эквивалентные результатам греческого метода с использованием треугольников.

Сравнение китайской и греческой геометрических теорем На рисунке показана эквивалентность китайской теоремы о дополнительных прямоугольниках и греческой теоремы о подобных треугольниках.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Оценка богатства

Вавилонская клинопись, написанная около 3500 лет назад, посвящена проблемам плотин, колодцев, водяных часов и раскопок. В нем также есть упражнение на круглых ограждениях с предполагаемым значением π = 3. Подрядчик по плавательному бассейну царя Соломона, который сделал пруд 10 локтей в поперечнике и 30 локтей вокруг (3 Царств 7:23), использовал то же значение.Однако евреи должны были взять свое π у египтян до того, как пересечь Красное море, так как папирус Ринда ( c. 2000 до н.э .; наш основной источник древнеегипетской математики) подразумевает π = 3,1605.

Знание площади круга имело практическую ценность для чиновников, следивших за дани фараона, а также для строителей алтарей и бассейнов. Ахмес, писец, который скопировал и комментировал папирус Райнда ( c. 1650 до н.э.), много говорит о цилиндрических зернохранилищах и пирамидах, целых и усеченных.Он мог вычислить их объемы и, как видно из его использования египетского seked , горизонтального расстояния, связанного с вертикальным подъемом в один локоть, в качестве определяющей величины для наклона пирамиды, он кое-что знал о подобных треугольниках.

Преобразование полярных уравнений в декартовы за пять простых шагов

Если полярные уравнения заставляют вас сомневаться в своем будущем как физика-ядерщика, не волнуйтесь! Почти каждый студент, изучающий математику, которого я обучал, испытывал здесь трудности, и это совсем не удивительно.Помните, как вы впервые увидели уравнение и познакомились с этими странными переменными x и y? Сейчас это может показаться второй натурой, но вы узнали о совершенно новом способе общения о точках и кривых.

Полярные уравнения ничем не отличаются. И у меня хорошие новости! У вас уже есть все необходимые инструменты, чтобы научиться выражать уравнения в полярной форме. Фактически, вы изучаете их годами; вы просто использовали их по-другому. Сегодня я буду обсуждать надежный метод — пятиступенчатый процесс Cambridge Coaching для преобразования полярных уравнений в декартовы.

Почему существуют полярные координаты и уравнения?

Полярные координаты существуют для облегчения определения местоположения точки. Давайте посмотрим на небольшой пример. Не обращайте внимания на круги на графике на секунду и представьте себе прямоугольную систему, с которой вы знакомы. Где бы вы поставили точку (3,4)? Если бы вы поместили это у красной точки, вы правы.

[изображение отсутствует]

К настоящему времени вы знаете, что красную точку можно также представить как (5,0.92) в полярных координатах.Если бы мы хотели переместить точку на линию 30 °, сохраняя расстояние в 5 единиц от начала координат (синяя точка), мы могли бы просто выразить это как (5,30 °) или (5, / 6) в полярные координаты. Если бы мы выразили это в прямоугольных координатах, для расчета потребовалось бы несколько дополнительных шагов.

Итак, хотя полярные координаты, кажется, усложняют ситуацию, когда вы впервые с ними знакомитесь, обучение их использованию может немного упростить для вас математику!

Точно так же преобразование уравнения из полярной формы в прямоугольную и наоборот может помочь вам более просто выразить кривую.

Выполните следующие пять шагов, чтобы преобразовать уравнения между полярной и прямоугольной системами:

Шаг 1. Определите форму вашего уравнения

Быстрый взгляд на ваше уравнение должно сказать вам, в какой оно форме. Если оно содержит rs и θs, оно имеет полярную форму. Если он содержит xs и ys, он имеет прямоугольную форму.

Шаг 2. Поставьте цель

Если ваше уравнение имеет полярную форму, ваша цель — преобразовать его таким образом, чтобы у вас остались только xs и ys.Если он прямоугольной формы, ваша цель — иметь только rs и θs. Это звучит просто, но напоминание себе о своей цели поможет вам не застрять на полпути при преобразовании уравнения (или обходе кругов).

Шаг 3. Изучите свое уравнение

Теперь найдите время, чтобы изучить свое уравнение. Вот некоторые ключевые компоненты, которые вам следует искать. Если они не присутствуют в вашем уравнении, вам следует подумать о том, как вы могли бы заставить их появиться.

Шаг 4: Замена вперед!

Принимая во внимание цель, которую вы поставили на шаге 2, начинайте замену.

Шаг 5: Объедините похожие термины и полные квадраты (где необходимо)

Упростите уравнение, комбинируя одинаковые термины. Где это уместно, в основном, если у вас есть x2s и y2s, подумайте о завершении квадрата. Там, где это возможно, полностью упрощенное уравнение выражает r через θ или y через x, но иногда это невозможно без действительно нелепых манипуляций.

Вот несколько примеров!

Давайте применим этот метод к нескольким примерам.

Пример 1: 5r = sin (θ)

Шаг 1:

Это полярное уравнение.

Шаг 2:

Наша цель — прийти к уравнению, которое содержит только члены x и y.

Шаг 3:

Глядя на уравнение выше, правая часть (RHS) могла бы превратиться в rsin (θ), но в ней отсутствует член r. Левая часть (LHS) может превратиться в 5r2, но также отсутствует член r.Ага! Поскольку как в левой, так и в правой части отсутствует один и тот же член, давайте умножим обе части на r.

5r = грех (θ)

5r2 = rsin (θ)

Шаг 4:

Теперь, когда у нас есть уравнение с членами, которые можно легко преобразовать, мы можем приступить к замене.

5r2 = rsin (θ)

5 (х2 + у2) = у

Шаг 5:

Наконец, мы объединяем одинаковые термины и упрощаем уравнение. Наш результат в основном упрощен, но мы можем сделать еще несколько шагов. Некоторые математики попросят установить RHS равным нулю, если уравнение действительно упрощено.Другие попросят вычесть любой повторяющийся термин. Все три уравнения, представленные ниже, имеют разную степень упрощения.

5 (х2 + у2) = у

5×2 + 5y2-y = 0

5×2 + y (5y-1) = 0

Пример 2: 3r-cos2 (θ) = sin2 (θ)

Шаг 1:

Это полярное уравнение.

Шаг 2:

Наша цель — прийти к уравнению, которое содержит только члены x и y.

Шаг 3:

Рассматривая приведенное выше уравнение, давайте сначала изменим его так, чтобы тригонометрические члены располагались справа.

3r-cos2 (θ) = sin2 (θ)

3r = sin2 (θ) + cos2 (θ)

Видите что-нибудь знакомое? RHS можно упростить до 1 с использованием пифагорейской идентичности.

3r = 1

Как мы можем превратить LHS в R2? У нас есть два варианта: мы можем либо умножить обе стороны на r, либо возвести обе стороны в квадрат. Умножение обеих сторон на r будет означать, что RHS не может быть легко преобразован. Если вместо этого возвести обе стороны в квадрат, уравнение будет легче решить.

(3р) 2 = 12

9r2 = 1

Шаг 4:

Теперь, когда у нас есть уравнение с членами, которые можно легко преобразовать, мы можем приступить к замене.

9r2 = 1

9 (x2 + y2) = 1

Шаг 5:

Наконец, мы объединяем одинаковые термины и упрощаем уравнение. Обратите внимание, что вы придете к уравнению для круга с радиусом 1/3. Разве 9r2 = 1 или r = 1/3 не было более простым способом показать это? Вот почему полярные уравнения могут быть такими полезными!

9 (x2 + y2) = 1

х2 + у2 = 1/9

Пример 3: x2 + 3x + y2 = 6

Шаг 1:

Это прямоугольное уравнение.

Шаг 2:

Наша цель — прийти к уравнению, которое содержит только члены r и θ.Преобразование прямоугольной формы в полярную стало намного проще!

Шаг 3:

Глядя на приведенное выше уравнение, мы можем сгруппировать члены второго порядка, чтобы подготовить их к преобразованию в r2.

х2 + 3х + у2 = 6

(x2 + y2) + 3x = 6

Шаг 4:

Заменить все члены x и y.

(x2 + y2) + 3x = 6

r2 + 3rcos (θ) = 6

Шаг 5:

Мы могли бы пойти дальше по упрощению, но в этом нет необходимости.Оба ответа показаны ниже.

r2 + 3rcos (θ) = 6

г (г + 3cos (θ)) = 6

И вот оно! При преобразовании полярных уравнений в декартовы уравнения следуйте нашему пятиэтапному процессу, и вскоре это станет вашей второй натурой!

Исчисление III — Цилиндрические координаты

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-12: Цилиндрические координаты

Как и в случае с двумерным пространством, стандартная система координат \ (\ left ({x, y, z} \ right) \) называется декартовой системой координат.В последних двух разделах этой главы мы рассмотрим некоторые альтернативные системы координат для трехмерного пространства.

Начнем с цилиндрической системы координат. Это довольно просто, поскольку это не что иное, как расширение полярных координат в трех измерениях. Это не только расширение полярных координат, но мы расширяем его до третьего измерения так же, как мы расширяем декартовы координаты до третьего измерения. Все, что мы делаем, это добавляем \ (z \) on в качестве третьей координаты.3} \).

Преобразования для \ (x \) и \ (y \) — это те же преобразования, которые мы использовали, когда смотрели на полярные координаты. Итак, если у нас есть точка в цилиндрических координатах, декартовы координаты могут быть найдены с помощью следующих преобразований.

\ [\ begin {align *} x & = r \ cos \ theta \\ y & = r \ sin \ theta \\ z & = z \ end {align *} \]

Третье уравнение является просто подтверждением того, что \ (z \) — координата точки в декартовых и полярных координатах одинакова.2} = 100 \)

\ (г = г \)

Показать все решения Скрыть все решения a \ (r = 5 \) Показать решение

В двух измерениях мы знаем, что это круг радиуса 5. Поскольку теперь мы находимся в трех измерениях и в уравнении нет \ (z \), это означает, что он может свободно меняться. Итак, для любого данного \ (z \) у нас будет круг радиуса 5 с центром на оси \ (z \).

Другими словами, у нас будет цилиндр радиуса 5 с центром на оси \ (z \).2} \ end {align *} \]

Из раздела, посвященного квадратичным поверхностям, мы знаем, что это уравнение конуса.

Как принимать решения с 4 квадрантами | Targetprocess

Мы должны постоянно принимать разумные решения, а принятие качественных решений может быть очень сложной задачей. Особенно, если это касается важного дела, которым мы занимались довольно давно. То, что всегда на заднем плане или на нашем радаре, в зависимости от того, кто что предпочитает.Сам факт озабоченности может затуманивать наше мышление, и нам не хватает ясности в оценке вариантов. Все выглядит хаотично, и, учитывая, что все данные поступают из различных источников (наиболее распространенными из которых являются другие заинтересованные стороны и клиенты), лицо, принимающее окончательное решение, может чувствовать себя дезориентированным. Как во всем этом разобраться?

Вот случай, когда мы можем столкнуться с некоторыми трудностями: опыт работы с программным продуктом. Нужно ли нам ставить на кон все, что у нас есть, чтобы нашим клиентам было намного проще начать с этого? Есть простой прием, который поможет принять решение.Для этого нужен только лист бумаги и немного вашего времени, сфокусированного на лазере. В этом методе используется декартова плоскость, а также ось x-y и 4 квадранта. Рассматриваемая проблема должна быть холодно проанализирована с помощью 4 следующих вопросов (против часовой стрелки, начиная с верхнего правого угла):

1. Что произойдет, если этого не произойдет ? Вещи останутся такими, какие они есть, и для этого квадранта нам нужно собрать плюсы того, что этого не происходит. Что мы сохраним или получим, если опыт работы с программой останется прежним?

2.Что будет, если это произойдет? Все изменится; Увеличьте плюсы того, что происходит. Какие положительные результаты принесет нам лучшее начало работы?

3. Что не произойдет , если это произойдет? Теперь перейдем к обратным сторонам происходящего. 3-й и 4-й квадранты работают в отрицательной зоне, поскольку они расположены ниже оси Y в отрицательной зоне. Помните, что этот метод принятия решений относится к декартовым квадрантам, поэтому он привязан к 3-4 квадрантам, как к отрицательному, и к 1-2 квадрантам, как к положительному.Итак, что мы потеряем или упустим с улучшением опыта работы с программой «Начало работы»?

4. Что не произойдет, если не произойдет, если этот не произойдет ? Что мы потеряем или упустим, если начальный этап работы останется прежним? Будьте осторожны с этим последним квадрантом. Минусов от этого не происходит. Наш мозг может быть соблазнен скользить по тому же пути, что и при ответе на вопрос 1-го квадранта, потому что этот 4-й вопрос задан как двойное отрицание. И ваши ответы могут быть очень похожи на ответ 1-го квадранта.

Почему эта техника так хороша? Четыре квадранта помогают понять последствия каждого возможного решения и рассмотреть его с четырех разных точек зрения. Этот метод в первую очередь решает проблему нашего невольного самосаботажа, чтобы остановиться только на одном вопросе: что произойдет, если это произойдет?

Что важно в этой технике, так это то, что для записи вещей нужно использовать лист бумаги. Наш ум запутается, придерживаясь множества альтернативных точек зрения. Итак, это должен быть лист бумаги или электронная записка.

Этот подход должен особенно хорошо работать при принятии стратегических решений, направленных на единоличное лицо, принимающее окончательное решение. Однако иногда нам нужно создать многомерный холст для принятия решений. Например, когда мы устанавливаем приоритетность невыполненной работы или выбираем, какую основную функцию внедрить следующей в продукте, имеет смысл разработать модель с несколькими переменными и двигаться дальше.

Статьи по теме:

Компетентное принятие решений и Расти Тинман

Приоритезация и большие данные? Подумайте о человеческой природе

Хронология: последовательность решений

(PDF) Раскрашивание квадрата декартова произведения двух циклов

произведения общих графов.Более того, в случае раскраски на расстояние 2 они

доказали, что хроматическое число квадрата любого графа, заданного как

декартово произведение dциклов, не превосходит 6d + O (log d).

L (p, q) -маркировка графа G — это присвоение φ неотрицательных целых чисел

вершинам графа G, так что | φ (u) −φ (v) | ≥ p, когда u и v смежны

и | φ (u) −φ (v) | ≥ q всякий раз, когда u и v находятся на расстоянии 2 в G. λp

q-число

в G определяется как наименьшее k, такое, что G позволяет L (p, q) -метку на множестве

{0,1 ,…, k} (обратите внимание, что такая разметка использует k + 1 меток). Из определения

следует, что любая L (1,0) -метка G является обычной правильной раскраской

G и что любая L (1,1) -метка G является правильной раскраской квадрата G.

Следовательно, χ (G) = λ1

0 (G) + 1 и χ (G2) = λ1

1 (G) + 1 для каждого графа G.

Понятие L (p, q) -маркировки было представленная Григгсом и Йе [4] в модели

, модель проблемы назначения каналов. Они предположили, что λ2

1 (G) ≤

∆ (G) 2 для любого графа G.Это побудило многих авторов изучить L (2,1) —

разметку некоторых конкретных классов графов, а случай декартовых продуктов графов был исследован в [1, 3, 7, 8, 9, 10]. , 14, 16].

В частности, Шварц и Трокселл [14] рассмотрели L (2,1) -метки

произведений циклов и доказали следующее:

Теорема 2 (Шварц и Трокселл [14]) Если Tm, n = Cm2Cnwith 3 ≤

m≤n, тогда

λ2

1 (Tm, n) = 





6if m, n ≡0 (mod 7),

8if (m, n) ∈A ,

7 в противном случае.

, где A =  (3, i): i∈ {4,10} или i = 2j + 1 с j∈N∪ (5, i): i∈

{5,6,9,10, 13,17} ∪ (6,7), (6,11), (7,9), (9,10) .

Поскольку каждая L (2,1) -метка является L (1,1) -меткой, λ2

1 (G) +1 ≥λ1

1 (G) +1 =

χ (G2) для каждый граф G. Следовательно, теорема 2 дает верхние оценки

хроматического числа квадрата тороидальных сеток (верхние границы

, соответствующие трем случаям теоремы 2, равны 7, 9 и 8 соответственно).